首页 计算机科学 算法 LeetCode

# 二叉树理论基础

# 二叉树种类

# 满二叉树

满二叉树：只有读为 0 的节点和度为 2 的节点，并且度为 0 的节点都在同一层上。

满二叉树

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为kk，有2k−12^k-1 个节点的二叉树。

# 完全二叉树

完全二叉树：除了最底层可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下一层节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层 (h 从 1 开始)，则该层包含1−2h−11 - 2^{h - 1} 个节点。

完全二叉树

# 二叉搜索树

二叉搜索树是一个有序树：

  • 若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它根节点的值。
  • 若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它根节点的值。
  • 左右子树；也分别为二叉排序树。

二叉搜索树

# 平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树 (AVL Tree, Adelson-Velsky and Landis Tree) 具有以下性质：

  • 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
  • 左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

AVL树

最后一棵树不是平衡二叉树，他的左右两个子树高度差绝对值超过了 1.

C++ 中 map、set、multimap，multiset 的底层实现都是平衡二叉搜索树，所以 map、set 的增删操作时间时间复杂度是o(logn)o(logn)。

# 二叉树的存储方式

二叉树可以链式存储也可以顺序存储。

链式存储如图所示：

链式存储二叉树

顺序存储就是用数组存储二叉树，如图所示：

顺序存储二叉树

用数组存储二叉树遍历：如果父节点的数组下标是ii，那么它的左孩子就是i∗2+1i * 2 + 1，右孩子就是i∗2+2i * 2 + 2。

# 二叉树的遍历方式

前序遍历🔗
中序遍历🔗
后序遍历🔗

二叉树有两种遍历方式：

  • 深度优先遍历 (DFS)：先往深走，遇到叶子结点再往回走
    • 前序遍历 (迭代法，递归法)
    • 中序遍历 (迭代法，递归法)
    • 后序遍历 (迭代法，递归法)
  • 广度优先遍历 (BFS)：一层一层遍历
    • 层序遍历 (迭代法)

深度优先遍历中，前中后序指的是中间节点的遍历顺序。

DFS遍历二叉树

# 二叉树的定义

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

# 二叉树的递归遍历

递归三要素：

  1. 确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。

  2. 确定终止条件： 写完了递归算法，运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。

  3. 确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

以前序遍历为例：

  1. 确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入 vector 来放节点的数值，除了这一点就不需要再处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是 void

  2. 确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了，那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接 return

  3. 确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值

class Solution {
public:
    void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        if (cur == NULL) return;
        vec.push_back(cur->val);    // 中
        traversal(cur->left, vec);  // 左
        traversal(cur->right, vec); // 右
    }
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        traversal(root, result);
        return result;
    }
};

中序遍历和后序遍历只改变注释三行的顺序。

# 二叉树的迭代遍历

递归的实现是，每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数量和返回地址等压入调入栈中，然后返回的时候，栈顶弹出上一次的各项参数。

因此也可以用栈实现二叉树的前中后序遍历。

# 前序遍历

前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。 因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。

迭代法前序遍历

class Solution {
public:
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        vector<int> result;
        if (root == NULL) return result;
        st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();                       // 中
            st.pop();
            result.push_back(node->val);
            if (node->right) st.push(node->right);           // 右（空节点不入栈）
            if (node->left) st.push(node->left);             // 左（空节点不入栈）
        }
        return result;
    }
};

# 中序遍历

前序遍历的顺序是中左右，先访问的是中间节点，要处理的也是中间节点。要访问的和要处理的节点顺序是一致的。

中序遍历的顺序是左中右，先访问的是二叉树顶部节点然后一层层向下访问，直到到达树左边的最底部再处理节点。处理顺序和访问顺序不一致。

在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

迭代法中序遍历

class Solution {
public:
    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* cur = root;
        while (cur != NULL || !st.empty()) {
            if (cur != NULL) { // 指针来访问节点，访问到最底层
                st.push(cur); // 将访问的节点放进栈
                cur = cur->left;                // 左
            } else {
                cur = st.top(); // 从栈里弹出的数据，就是要处理的数据（放进 result 数组里的数据）
                st.pop();
                result.push_back(cur->val);     // 中
                cur = cur->right;               // 右
            }
        }
        return result;
    }
};

# 后序遍历

前序遍历是中左右，后续遍历是左右中，那么我们只需要调整一下前序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后在反转 result 数组，输出的结果顺序就是左右中了。

class Solution {
public:
    vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        vector<int> result;
        if (root == NULL) return result;
        st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            st.pop();
            result.push_back(node->val);
            if (node->left) st.push(node->left); // 相对于前序遍历，这更改一下入栈顺序 （空节点不入栈）
            if (node->right) st.push(node->right); // 空节点不入栈
        }
        reverse(result.begin(), result.end()); // 将结果反转之后就是左右中的顺序了
        return result;
    }
};

# 二叉树的统一迭代法

使用栈的话，无法同时解决访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进结果集）不一致的情况。

那我们就将访问的节点放入栈中，把要处理的节点也放入栈中但是要做标记。

如何标记呢，就是要处理的节点放入栈之后，紧接着放入一个空指针作为标记。

# 中序遍历

统一迭代中序遍历

动画中，result 数组就是最终结果集。

可以看出我们将访问的节点直接加入到栈中，但如果是处理的节点则后面放入一个空节点， 这样只有空节点弹出的时候，才将下一个节点放进结果集。

class Solution {
public:
    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        stack<TreeNode*> st;
        if (root != NULL) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            if (node != NULL) {
                st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
                if (node->right) st.push(node->right);  // 添加右节点（空节点不入栈）
                st.push(node);                          // 添加中节点
                st.push(NULL); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
                if (node->left) st.push(node->left);    // 添加左节点（空节点不入栈）
            } else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
                st.pop();           // 将空节点弹出
                node = st.top();    // 重新取出栈中元素
                st.pop();
                result.push_back(node->val); // 加入到结果集
            }
        }
        return result;
    }
};
# 前序遍历
class Solution {
public:
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        stack<TreeNode*> st;
        if (root != NULL) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            if (node != NULL) {
                st.pop();
                if (node->right) st.push(node->right);  // 右
                if (node->left) st.push(node->left);    // 左
                st.push(node);                          // 中
                st.push(NULL);
            } else {
                st.pop();
                node = st.top();
                st.pop();
                result.push_back(node->val);
            }
        }
        return result;
    }
};
# 后序遍历
class Solution {
public:
    vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> result;
        stack<TreeNode*> st;
        if (root != NULL) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode* node = st.top();
            if (node != NULL) {
                st.pop();
                st.push(node);                          // 中
                st.push(NULL);
                if (node->right) st.push(node->right);  // 右
                if (node->left) st.push(node->left);    // 左
            } else {
                st.pop();
                node = st.top();
                st.pop();
                result.push_back(node->val);
            }
        }
        return result;
    }
};
# 二叉树的层序遍历
题目链接🔗
层序遍历就是从左到右一层一层的去遍历二叉树。
需要借助队列来实现。队列先进先出，符合一层一层遍历的逻辑。而用栈先进后出适合模拟深度优先遍历也就是递归的逻辑。
层序遍历二叉树
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        if (root != NULL) que.push(root);
        vector<vector<int>> result;
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            vector<int> vec;
            // 这里一定要使用固定大小 size，不要使用 que.size ()，因为 que.size 是不断变化的
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                vec.push_back(node->val);
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
            result.push_back(vec);
        }
        return result;
    }
};
// 递归法
class Solution {
public:
    void order(TreeNode* cur, vector<vector<int>>& result, int depth)
    {
        if (cur == nullptr) return;
        if (result.size() == depth) result.push_back(vector<int>());
        result[depth].push_back(cur->val);
        order(cur->left, result, depth + 1);
        order(cur->right, result, depth + 1);
    }
    vector<vector<int>> levelOrder(TreeNode* root) {
        vector<vector<int>> result;
        int depth = 0;
        order(root, result, depth);
        return result;
    }
};